Народився Адріан Пуканич 22 червня 1983 року у місті Виноградів. Через свої унікальні футбольні здібності опинився у структурі донецького клубу. Вже у сімнадцять років виходив за другі та треті команди "гірників". 26 жовтня 2002 року зіграв свій перший матч за основну команду "Шахтаря". Тоді матч із одеським "Чорноморцем команда виграла з рахунком 2:0.
10 червня 2003 року дебютував у складі національної збірної України у матчі проти Греції. А 18 лютого у товариській грі проти Лівії відзначився забитим голом. Але це уся кар’єра Пуканича за збірну України.
Не дивлячись на хороший старт закріпитися у складі донеччан Адріану не вдалося. Його було віддано в оренду у фарм-клуб "Іллічівець" із Маріуполя. Там за сезон він провів 32-гри і забив два м’ячі. Повернувшись із оренди не зміг виправдати надії тодішнього тренера Мірчі Луческу і перейшов до полтавської "Ворскли". Так, оренди тривали до 2009 року, а тоді Адріан Пуканич підписав повноцінний контракт із "Іллічівцем".
У Маріуполі грав до 2014-року. Потім був невдалий сезон в ужгородській "Говерлі", а згодом Пуканич переїхав до Грузії де грав сезон за "Шукуру". Мало хто б міг у це повірити, але гравець у 2016 році повернувся до рідного Виноградова, де допомагав місцевій команді виборювати звання чемпіона області. З нового сезону поповнив склад ФК "Ужгород", який атестувався на Другу лігу України.